Problemas

  1. La base de un rectángulo ABCD es 8 cm y su altura es 3 cm. Dividimos la diagonal AC en tres partes iguales mediante los puntos E y F. ¿Cuánto vale el área del triángulo BEF? Solución


  2. IV O.M. "El Bohio" Problema 7.- Un junco enraizado en el fondo de un estanque se encuentra a 90 cm. de la orilla, y su cabeza se eleva 30 cm. sobre el agua. Por la fuerza del viento se ha inclinado (sin doblarse) de modo que su cabeza toca la orilla a ras de agua. ¿Cuál es la profundidad del estanque y la altura del junco? Solución


  3. Dado un polígono de siete lados obtener un triángulo equivalente (de la misma área). Solución


  4. Dadas tres circunferencias iguales, tangentes dos a dos. Calcula el área encerrada entre las tres rectas. Solución
  5. Por un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles se traza paralelas a los lados, probar que el paralelogramo así obtenido tiene perímetro constante. Solución
  6. Sobre la base de un triángulo isósceles se eleva una perpendicular por un punto cualquiera P, ésta recta cortará a los lados iguales en dos puntos M y N; probar que PM+PN es constante y hallar dicha constante. Solución
  7. Prueba que el simétrico del ortocentro respecto de los lados del triángulo se encuentra en la circunferencia circunscrita. Solución
  8. Prueba que si H es el ortocentro del triángulo ABC, entonces las circunferencia circunscritas de los triángulos ABC, HBC, HCA y HAB tienen el mismo radio y sus centros son los simétricos del circuncentro del triángulo ABC respecto de los lados correspondientes. Solución.
  9. Prueba que en un triángulo los tres productos de los segmentos en que el ortocentro divide las alturas son iguales. Solución
  10. El producto de los segmentos en que el lado de un triángulo es dividido por el pie de su altura coincide con la altura por la distancia del ortocentro al lado. Solución
  11. En todo cuadrilátero, los puntos medios de los lados son vértices de un paralelogramo. Solución
  12. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, y la mediana del otro lado, se cortan respectivamente en dos partes iguales. Solución.


  13. En todo triángulo la suma de las medianas es menor que el perímetro. Solución


  14. Al mayor lado le corresponde la mediana menor. Solución


  15. En un triángulo cada mediana es equidistante de los otros dos vértices. Solución
  16. La recta ALN que une el vértice del triángulo ABC con el punto medio L de una de las medianas trazada desde otro vértice, divide al lado BC opuesto al vértice considerado en dos partes una doble de la otra. Solución


  17. Construir un triángulo conociendo dos medianas y un lado. Solución


  18. A medianas iguales corresponden lados iguales. Solución


  19. Construir un triángulo conociendo dos lados y una mediana. Solución


  20. Construir un triángulo conociendo las tres medianas. Solución


  21. Prueba que en todo triángulo rectángulo, la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de la circunferencia inscrita y circunscrita. Solución
  22. Prueba que en todo triángulo rectángulo se tiene que 0.4 < r/h < 0.5. Donde r es el radio de la circunferencia circunscrita y h la altura correspondiente al ángulo recto. Solución
  23. IV OM"El Bohio" Problema 6.- Dado un triángulo cualquiera ABC, trazamos sus tres medianas, dividiendo el triángulo en seis triángulos. Demostrar que los seis tienen el mismo área. Solución
  24. Dado un triángulo, trazar una recta paralela a la base del triángulo de tal manera que las longitudes de los segmentos de los lados interceptados entre ésta y la base sean, sumadas, iguales a la longitud de la base. Solución
  25. XII OM"El Bohio" Problema 5.- Dadas tres circunferencias iguales, tangentes dos a dos. Calcula el área encerrada entre las tres. Solución
  26. XII OM"El Bohio" Problema 6.- Se da una circunferencia de 6 cm. de radio. Calcular el radio de la menor circunferencia, tangente a la dad y a dos de sus tangentes, que forman entre sí un ángulo de 60º. Solución.
  27. IV Concurso Puig Adam,1988.- Demostrar que si un triángulo de área S el producto de sus medianas vale 3/2 S, entonces dichas medianas son perpendiculares. Solución
  28. Por el baricentro se traza una recta cualquiera, la suma de las distancias desde dos vértices situados del mismo lado de la recta es igual a la distancia del tercer vértice a esta recta. Solución.


  29. Un triángulo tiene por lados AB = BC = 50 y el lado AC, vale 60, halla el radio de la circunferencia circunscrita. Solución.
  30. Demostrar que el área de cualquier triángulo ABC se puede obtener por: S=2R2senAsenBsenC, donde R es el radio del círculo circunscrito. Solución


  31. Puig Adam IX,1995.- Sea un triángulo ABC tal que a > b y a+ha £ b+hb. Calcula el valor de c. Solución
  32. La suma de las distancias de los tres vértices de un triángulo a una recta cualquiera es igual a tres veces la distancia del baricentro a la recta. Solución
  33. La suma de las perpendiculares trazadas desde un punto de la base de un triángulo isósceles a los otros lados es igual a la altura de uno de dichos lados. Solución.


  34. En un triángulo cualquiera, se toma un punto P en la base y se traza una recta que corta a los otros dos lados en dos puntos M y N, ¿qué condiciones hay que imponer a la recta para que la suma PM+PN sea constante? Solución
  35. Si desde un punto interior a un triángulo equilátero se trazan las perpendiculares a los lados, la suma de los segmentos que determinan coincide con la altura. Solución


  36. Prueba que si a, b, c son los lados de un triángulo y r el radio de la circunferencia inscrita entonces el inverso del radio es igual a la suma de los inversos de las alturas. Solución
  37. Dadas tres cevianas concurrentes en un punto O, probar que OX/AX + OY/BY + OZ/CZ = 1.
    Solución.

  38. Las alturas del triángulo ABC, cortan a los lados BC, AC, AB en los puntos X, Y, Z y a la circunferencia circunscrita en U, V, W, prueba que AU/AX + BV/BY + CW/CZ = 4. Solución
  39. Si un triángulo tiene dos bisectrices interiores iguales es isósceles. Solución


  40. (Teorema de Apolonio).- Halla la longitud de la mediana ma, en función de los lados a, b, c de un triángulo. Solución


  41. Punto de Gergonne.- Sean X, Y y Z, los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo ABC, demuestra que son concurrentes. Solución


  42. Sea ABC un triángulo en el que la recta de Euler pasa por el incentro, prueba que el triángulo es isósceles. Solución
  43. Sobre las prolongaciones de los lados AB, AC de un triángulo dado ABC, se toman das distancias BD, CE de manera que su suma sea igual al tercer lado del triángulo y se traza DE. ¿En qué caso éste segmento será mínimo? Solución.
  44. Triángulos especiales(Bellot).- Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que a2 = b2 + bc. Solución
  45. Triángulos especiales(Bellot).- Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que que si OD son las distancias de O a los lados BC y CA entonces se verifica OD/OC = |(b-c)/a|. Solución
  46. Triángulos especiales(Bellot).- Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que la longitud de la bisectriz interior va= bc/a. Solución.
  47. Triángulos especiales(Bellot).- Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que AI = a-b. Solución
  48. Triángulos especiales(Bellot).- Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra I Ia = 2 b. Solución
  49. Sabiendo que el ángulo B es doble que A, en el triángulo ABC, demuestra que la circunferencia que pasa por A, I, B corta respectivamente a los lados CB y CA en puntos P, Q tales que : AQ = AI = IP = PB = A-b. Solución
  50. Triángulos especiales(Bellot).- Si b=4c cos(30º+A/2)cos(30º-A/2) entonces A = 2C y a2 = cb + c2. Solución
  51. Triángulos especiales(Bellot).- Si a = 4, b = 5 y c = 6, prueba que C = 2A. Solución
  52. Triángulos especiales(Bellot).- Si A = 2B = 4C, entonces a2 = c (a+b+c). Solución
  53. Problema VI Puig Adam 1988.- Los lados CB y CA del triángulo ABC miden a, b y el ángulo C mide 120º. Expresa en función de a y b la longitud de la bisectriz (interior) del ángulo C. Solución
  54. En el triángulo ABC, sea AD la mediana. Prueba que si los radios de los círculos inscritos en ABD y ACD son iguales, entonces AB = AC. Solución
  55. Desde el vértice de un triángulo isósceles BAC, se traza una circunferencia cualquiera, y desde B y C se trazan las tangentes a la circunferencia variable de centro A, ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos de corte de las tangentes? Solución
  56. Sean X, Y y Z, los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo ABC, demuestra que son concurrentes. Solución.
  57. Sea A', B', C' puntos exteriores al triángulo ABC, tales que A'BC, B'CA y C'AB son triángulos isósceles semejantes. Prueba que AA', BB' y CC' son concurrentes. Solución


  58. OME 1963/1964. Problema 4.- Dados el triángulo equilátero ABC, de lado a, y su circunferencia circunscrita, se considera el segmento de círculo limitado por la cuerda AB y el arco (de 120º) con los mismos extremos. Al cortar este segmento circular con rectas paralelas al lado BC, queda determinado sobre cada una de ellas un segmento de puntos interiores al segmento circular mencionado. Determinar la longitud máxima de esos segmentos rectilíneos. Solución.


  59. OME 1964/1965. Problema 1 .- Un triángulo inscrito en una circunferencia de centro O y radio igual a 4 cm. se gira un ángulo recto en torno a O. Hallar el área de la parte común al triángulo dado y al obtenido en ese giro. Solución.
  60. OME 1964/1965. Problema 6.- Se construye un triángulo equilátero de lado l y se deposita sobre una esfera maciza de radio k (que no pasa a través del triángulo anterior).¿A qué distancia del centro de la esfera quedan los vértices del triángulo? Solución
  61. OME 1965/1966. Problema 5.- La longitud de la hipotenusa BC de un triángulo rectángulo ABC es a, y sobre ella se toman los puntos M y N tales que BM = NC = k, con k<a/2. Supuesto que se conocen (tan sólo) los datos a y k, calcular:
    1. El valor de la suma de los cuadrados de las longitudes AM y AN.
    2. La razón de las áreas de los triángulos ABC y AMN.
    3. El área encerrada por la circunferencia que pasa por los puntos A, M', N', siendo M' la proyección ortogonal de M sobre AC y N' la de N sobre AB.Solución

  62. OME 1969/1970 Problema 3.- Se da un triángulo arbitrario ABC y un punto P situado en el lado AB. Se pide trazar una recta que divida al triángulo en dos figuras de la misma área. Solución
  63. OME 1970/1971 Problema 8.- Se da un punto M en el interior de una circunferencia, a una distancia OM = d del centro O. Por M se trazan dos cuerdas AB y CD que forman ángulo recto. Se une A con C y B con D. Determinar el coseno del ángulo que ha de formar la cuerda AB con Om para que la suma de las áreas de los triángulo AMC y BMD sea mínima. Solución
  64. OME 1971/1972 Problema 2.- Un punto se mueve sobre los lados del triángulo ABC, definido por los vértices A(-1.8,0), B(3.2,0), C(0,2.4). Determina las posiciones de dicho punto, en las que la suma de su distancia a los tres vértices es máxima o mínima absoluta. Solución
  65. Encuentra sobre el lado AB de un triángulo, un punto tal que, la suma de distancias a los otros dos lados sea mínima/máxima. Solución
  66. OME 1976/1977 Problema 6.- Se considera un triángulo ABC, y sea D el punto de corte de la bisectriz correspondiente al ángulo A con el lado BC. Demostrar que la circunferencia que pasa por A y es tangente a la recta BC en D, también es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Solución
  67. OME 1979/1980 Problema 1.- De entre los triángulos que tienen un lado de 5 m de longitud y el ángulo opuesto de 30º, determinar el de área máxima, calculando el valor de los otros dos ángulos y el área del triángulo. Solución
  68. OME 1979/1980 Problema 8.- Determinar todos los triángulos tales que las longitudes de los tres lados y su área estén dados por cuatro números naturales consecutivos. Solución
  69. OME 1982/1983 Problema 2.- Construir un triángulo conociendo un ángulo, la razón de los lados que lo forman y el radio del círculo inscrito. Solución.
  70. OME 1986/1987 Problema 5.- En un triángulo ABC tenemos puntos D y E respectivamente sobre AB y AC. Conocemos la medida de los ángulos indicados a continuación: ABE = 30º, EBC = 50º, ACD = 20ª y DCB = 60º. Hallar el valor del ángulo EDC. Solución
  71. OME 1993/1994 Problema 4.- El ángulo A de un triángulo isósceles ABC mide 2/5 de recto, siendo los ángulos B y C iguales. La bisectriz del ángulo C corta al lado opuesto en el punto D. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida a del lado BC en función de la medida b del lado AC, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas. Solución
  72. OME 2004/2005 Problema 3.- Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo. Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado. Solución
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Portada. Introducción. Conceptos. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza.Teorema de Pitágoras
Teorema del seno. Teorema de la altura. Teorema del coseno. Área. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos.
Teorema de Ceva
. Teorema de Menelao.
Teorema de Stewart.