TRIÁNGULOS

Triángulo es la figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados, o bien, la figura formada por tres rectas que se cortan, a los puntos de corte se les llama vértices.

Los ángulos del triángulo se designan con letras mayúsculas A,B, y C y los lados opuestos con a, b y c. La suma de los lados es el perímetro y notaremos por p el semiperímetro.

Un ángulo y un lado son adyacentes cuando el vértice del ángulo está sobre el lado, y un lado y un ángulo son opuestos cuando el ángulo no tiene vértice en ese lado.

Clases de triángulos:

Igualdad de triángulos

Dos triángulos se dicen congruentes, si mediante un movimiento los podemos hacer coincidir, es decir, si tienen los mismos lados y los mismos ángulos; los lados que coinciden se llaman correspondientes u homólogos, análogamente ocurre con los ángulos.

Criterios de congruencia
  1. Un lado igual y los dos ángulos adyacentes.

  2. Dos lados iguales y el ángulo comprendido.

  3. Los tres lados iguales.

Si los triángulos son rectángulos serán iguales si:

Problema.- Por un punto cualquiera de la base de un triángulo isósceles se trazan paralelas a los lados, probar que el paralelogramo así obtenido tiene perímetro constante. Solución

Problema.- Sobre la base de un triángulo isósceles se eleva una perpendicular por un punto cualquiera P, ésta recta cortará a los lados iguales en dos puntos M y N; probar que PM+PN es constante y hallar dicha constante. Solución

Relación entre ángulos y lados

La suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos internos no adyacentes. La suma de los ángulos externos siempre es 360º.

Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos. Como consecuencia, en todo triángulo un lado es mayor que la diferencia de los otros dos.

En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.

Teorema.- Si por los vértices de un triángulo se trazan paralelas a los lados opuestos se obtiene otro triángulo tal que los puntos medios de sus lados son los vértices del dado.

Demostración.- Los segmentos paralelos comprendidos entre paralelas son iguales, por tanto:

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CB = AB'
CB = AC'

de donde, A es el punto medio de B' C'.
El triángulo A' B' C' se llama anticomplementario del ABC.

Corolario.- Los cuatro triángulos son iguales.

Definiciones básicas

Base es uno cualquiera de los lados.

Altura es el segmento perpendicular a un lado pasando por el vértice opuesto a la base o a su prolongación, los notaremos por h_a, h_b y h_c.

Bisectriz interior es la recta que divide un ángulo cualquiera en dos partes iguales y es interior al triángulo, al segmento determinado por el vértice y el lado opuesto se nota por v_a, v_b y v_c.

La bisectriz de los ángulos externos de un triángulo se le llama bisectriz exterior. Como los dos ángulos externos son opuestos por el vértice, sus bisectrices son prolongación una de otra y perpendiculares a la bisectriz interior del mismo vértice.

Llamaremos mediatriz de un triángulo a la recta perpendicular a un lado en su punto medio.

Mediana es el segmento determinado por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Las notaremos por m_a, m_b y m_c.

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Teorema .- Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a otro lado, ésta pasará por el punto medio del tercer lado y el segmento que determina será la mitad del lado paralela a ella.

Demostración.- Sea D el punto medio de AB y E el punto de corte de la paralela a BC por D. Trazamos por D la paralela a AC que corta en F al lado a. Los triángulos DBF y ADE son iguales, pues:

AD = DB y los ángulos adyacentes son iguales

Además DFCE es un paralelogramo, y AE = DF = EC y E es punto medio de AC.

Como DE = FC = BF tendremos que F es punto medio de BC.

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Teorema reciproco .- Si el segmento DE pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

Demostración.-

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Sean D y E los puntos medios de los lados AB y AC respectivamente, si prolongamos el segmento DE cortará a la paralela a AB por C en el punto F. Los triángulos ADE y ECF son iguales, ya que los ángulos en E coinciden por opuestos por el vértice, los ángulos DAE y ECF son iguales por ser alternos-internos y el lado AE = EC por ser E punto medio, así pues, AD // BF y al ser AD = CF, DB=AD resulta que DB=CF.
DB y CF son iguales y paralelos, y el cuadrilátero DBCF es un paralelogramo.

Problema.- En todo cuadrilátero, los puntos medios de los lados son vértices de un paralelogramo. Solución

Problema.- En un triángulo cualquiera, se toma un punto P en la base y se traza una recta que corta a los otros dos lados en dos puntos M y N, ¿qué condiciones hay que imponer a la recta para que la suma PM+PN sea costante? Solución

Problema.- En un triángulo cada mediana es equidistante de los otros dos vértices. Solución

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Portada. Introducción. Cicuncentro. Ortocentro. Incentro. Baricentro. Semejanza. Teorema de Pitágoras. Teorema del seno.
Teorema de la altura.
Teorema del coseno. Área. Recta de Euler. Círculo de los nueve puntos. Teorema de Ceva.
Teorema de Menelao
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Teorema de Stewart. Problemas